Ecuación De Onda

Ecuación De Onda 

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

Donde es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.

Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

Ecuación De Laplace

Ecuación De Laplace 

La ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico. En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función u de variables reales x, y, y z, tal que

En coordenadas cartesianas:

En coordenadas cilíndricas:

En coordenadas esféricas:

Ecuación Del Calor

Ecuación Del Calor

La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una función de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuación del calor es:

Donde α es la difusividad térmica, que es una propiedad del material.

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker–Planck. La ecuación de difusión, es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

Serie de Fourier

Serie De Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función .

Función Gamma

Función Gamma

La función Gamma (denotada como ) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral:

Converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.

Si n es un entero positivo, entonces:

Lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.

La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Ecuación De Legendre

Ecuación De Legendre 

La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:

Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:

Las solución general puede expresarse en la forma:

Donde:

Ecuación De Ricatti

Ecuación De Ricatti

Llamamos ecuación de Ricatti a una ecuación del tipo:

En la cual P(x)≠0, Q=Q(x), R(x) Son funciones continuas de x.

Es una forma particular de la ecuación de Bernoulli,por lo tanto su principal aplicación es en la hidrodinámica, es decir te permite relacionar, velocidad, presión, densidad en un fluido contenido por una tubería con cambios de nivel y de sección transversal.

Conociendo una integral particular, y1(x), la ecuacion se reduce a una de Bernoulli:

Haciendo el cambio de variable sustituyendo en (1) teniendo en cuenta (2) , obtenemos:

Esta ecuación de Bernoulli se transforma en una ecuación lineal haciendo el cambio:

Vídeo Explicativo De La Ecuación De Ricatti